「線形計算」は、行列に関しての数値計算のことです。

線形計算は、ざっくりと、

• 連立1次方程式
• 固有値問題

の２つに分けられます。
 
本書では、最初に行列についての基礎的な内容など、
たとえば、疎行列、帯行列、条件数、丸め誤差などが最初に説明されています。

続いて、「連立１次方程式」について、

• 消去法
• 反復法
• 共役勾配法
• 最小２乗問題

などが扱われています。

後半では、「固有値問題」について、

• 直交行列による基本変換
• 一般の固有値問題
• 実対称行列の固有値問題
• 特異値問題

などが説明されています。

また、本書の特徴として、以下の話題が含まれています

• Gaussの消去法（LU分解法）の成分毎の後退誤差解析
• 行列のブロック対角化（DM分解）の数理
• 楕円関数を用いたADI法の最適パラメータの議論
• ２次元モデル問題に対するマルチグリッド法の詳細な収束性解析
• 共役勾配法系統の解法の残差多項式による統一的導出
• 一般計量に関する自己随伴行列と共役勾配法
• 固有値問題に対するQR法、LR法の収束定理の新証明
• 固有値問題に対するJacobi-Davidson法の考え方に関する詳細な説明
• 固有値問題に対するJacobi法の２次収束定理の証明
• 特異値問題に対するdqds法の収束定理とその証明

本書の構成は、以下の通りです。

１、線形計算の予備知識
線形計算に現れる行列
行列の代数的性質
誤差

２、連立１次方程式①：消去法
消去法
丸め誤差評価
ブロック三角化

３、連立１次方程式②：反復法
反復法の概念
Gauss-Seidel法
逐次過緩和法（SOR法）
正則分離と収束性
Chebyshev加速法
ADI法
マルチグリッド法

４、連立１次方程式③：共役勾配法
対称行列に対する共役勾配法
非対称行列に対する共役勾配法の算法
Krylov部分空間法
自己随伴行列に対する共役勾配法
短い漸化式による解法

５、最小２乗法

６、直交行列による基本変換
基本直交変換
三角化（QR分解）
Hessenberg化・３重対角化
上２重対角化

７、固有値問題①：一般行列
べき乗法
同時反復法
QR法
LR法
Rayleigh-Ritsの技法
Arnoldi法とLanczos法
Jacobi-Davidson法

８、固有値問題②：対称行列
２分法
分割統治法
Jacobi法

９、特異値分解
dqds法の算法
dqds法の収束性

となっています。

それぞれ理論の考えの道筋がわかるように、丁寧に説明されています。
線形計算の理論の「全体像を俯瞰」でき、本格的に線形計算を学ぶのに、最適の１冊です。



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